Dans les années '70,  Monty Hall  présentait un show à la télévision américaine :  Let's Make a Deal , dont le principe a été repris en France sous le nom de BigDil. Monty Hall offrait, par exemple, $100 pour chaque trombone que vous avez sur vous ou $50 pour chaque oeuf dur que vous pourriez le remettre. Un des jeux favori du show était le jeu des trois portes.

Le participant est placé devant trois portes fermées. Derrière une des portes se trouve un prix important (une voiture dans le show). Les deux autres portes n'offrent rien (une chèvre dans le show de Monty Hall - en France on y aurait plutôt mis un chou). Quand le participant choisit une des portes, l'animateur du jeu ne l'ouvre pas encore. Au lieu de la porte choisie, il ouvre une autre porte derrière laquelle il n'y a pas de prix. Dans le show, les participants n'avaient pas la possibilité de changer leur choix. L'ouverture d'une autre porte était seulement un moyen pour faire monter le suspens. Mais que se serait-il passé s'ils avaient pu choisir une autre porte ? Quelle serait alors la meilleure stratégie : faire un nouveau choix ou rester avec le choix initial ? Les chances de gain auraient-elles augmenté, diminué ou seraient-elles restées les mêmes ?

Une des premières apparitions de ce problème date de 1898 dans Probabilités de Calcul de Joseph Bertrand où il est décrit comme le paradoxe de la boîte de Bertrand . Des années plus tard, en 1961, le problème est réapparu dans un livre de Martin Gardner : More Mathematical Puzzles and Diversions comme le problème des trois prisonniers.

En septembre 1990,  Marilyn vos Savant  chroniqueuse de la revue américaine  Parade  et mentionnée dans le Guinness Livre des Records comme ayant eu le plus haut QI jamais enregistré (228), recevait une lettre d'un de ses lecteurs avec ce problème. La publication de sa solution dans sa rubrique  Ask Marilyn  a engendré une discussion énorme parmi des mathématiciens et des laïques. Elle a reçu quelques 10000 lettres, aussi d'universitaires très instruits, dont la grande majorité lui reprochait d'avoir tort. Le très sérieux New York Times a même ouvert sa première page à un article concernant ce sujet. Et  Jerry Pournell  le célèbre chroniqueur du Chaos Manor de Byte, a également discuté le problème longuement en tant qu'adversaire de la solution de Marilyn, pour se ranger finalement de son côté.

Mais, que pensez-vous ? Faut-il changer son choix initial pour avoir plus de chances de gagner ou est-ce qu'un changement de choix n'aurait aucune conséquence ? Quand vous vous êtes décidé, les pages suivantes vous offrent une simulation pour vous montrer si vous avez tort ou non. Et une explication de la solution sera également donnée.

Pour cette simulation, vous ne devez pas décider si vous changez votre choix ou non. Vous pourriez utiliser les deux options en même temps. Le panneau de jeu montre deux rangées de trois portes :

• pour la rangée de haut, votre choix initial sera maintenu,
• pour la rangée du bas, votre choix initial sera toujours changé.

Le prix change d'emplacement entre les essais, mais reste toujours dans la même colonne afin de permettre une comparaison.

Au dessus de chaque colonne de portes, neuf lumières (trois par colonne de portes) de couleurs différentes indiquent ce qui s'est produit lors du tour précédent :

• devient quand cette porte était le premier choix
• devient quand cette porte a été ouverte par l'animateur du jeu.
• devient quand le prix était derrière cette porte

La première colonne de portes (porte A) est proposée comme choix initial, mais vous pouvez le changer à n'importe quel moment en cliquant sur une des portes.

Au dessus de chaque colonne des portes, des compteurs indiquent la proportion de gains pour chaque porte, vous permettant de vérifier que chaque rangée a des chances égales. La somme de ces proportions étant égale à 1, chaque porte devrait accumuler environs 0.333 victoires.

En dessous de chaque porte, une lumières indique ce qui s'est produit lors du tour précédent :

• devient quand cette porte a été ouverte par le joueur
• la combinaison   des deux dernières lumières indique que le joueur a obtenu le prix lors de l'essai précédent

En fait, vous exécutez le même essai sous deux conditions différentes : aucun changement (en haut) et changement (en bas), de sorte que vous puissiez voir comment les chances évoluent. Les deux compteurs à droite en haut de chaque rangée de portes présentent une mesure exacte des gains pour les deux stratégies

Il vaut mieux commencer avec quelques pas afin de comprendre le mécanisme avant de lancer des essais continus (de préférence au moins une centaine) pour voir quelle stratégie fonctionne le mieux.

Porte A

Porte B

Porte C

Essais

0

Maintenir le choix
proportion de gains

0.000

Changer le choix
proportion de gains

0.000

0.000

0.000

0.000

Zéro

Jouer

Stop

Pas

Le problème de 3 portes est un excellent exemple de la nature non-intuitive des probabilités. La plupart des gens croient qu'il n'y a aucun avantage à changer leur choix initial. Leur raisonnement est qu'après l'ouverture d'une porte sans prix, il y a 50 % de chance que le prix sera derrière une des deux autres portes et qu'un changement de choix n'y changera rien. En fait, ce raisonnement est faux et la raison réside dans le fait que l'animateur du jeu en sait plus que le jouer.

Quand vous faites votre choix initial, vous avez 1 chance sur 3 de tomber sur le prix. Quand l'animateur du jeu ouvre une porte, vous êtes réduit à un gain et une perte. Ne pas changer en ce moment ne change rien ; vous avez toujours 1 chance sur 3 de tomber sur le prix. Mais quand vous changez, votre chance initiale s'inverse complètement. Si votre choix initial était une perte, changer vous obtiendra maintenant un gain. Et si votre choix initial était un gain, changer vous obtiendra une perte. Vous devriez le regarder comme deuxième chance de 1/3 de tomber sur le prix. Puisque votre chance initiale d'obtenir un gain était seulement 1 sur 3, changer vous donnera 2 chances sur 3 d'obtenir un gain.

Vous pourriez aussi le regarder d'une autre manière :

• la probabilité que le joueur a choisie initialement la porte correcte est 1 sur 3, puisqu'il y a trois portes et que chacune a des chances égales de cacher le prix.
• la probabilité que la porte choisie par l'animateur du jeu cache le prix est 0, puisqu'il ne choisit jamais la porte qui cache le prix.
• puisque la somme des trois probabilités est 1, la probabilité que le prix est derrière l'autre porte est 1 - (1/3 + 0), ce qui est égal à 2/3.

Puisqu'une image vaut davantage que mille mots, jouons le jeu avec des portes transparentes :

Première étape
Vous choisissez la porte A				Vous choisissez la porte B				Vous choisissez la porte C
Deuxième étape
L'animateur du jeu ouvre la porte C (*)				L'animateur du jeu ouvre la porte C				L'animateur du jeu ouvre la porte B
Troisième étape : sans changement
Vous en restez avec la porte A				Vous en restez avec la porte B				Vous en restez avec la porte C
et vous avez gagné				et vous avez perdu				et vous avez perdu
Troisième étape : avec changement
Puisque A était votre premier choix et que C est ouverte, vous prenez B				Puisque B était votre premier choix et que C est ouverte, vous prenez A				Puisque C était votre premier choix et que B est ouverte, vous prenez A
et vous avez perdu				et vous avez gagné				et vous avez gagné

(*) pour la deuxième étape de la première rangée, l'animateur de jeu a deux choix : il peut ouvrir la porte B ou la porte C sans montrer le prix. Mais ceci ne change rien pour vous : pour la troisième étape, le joueur garde seulement une possibilité de changer et ce sera toujours une perte.

Si vous le voulez, vous pouvez refaire le schéma pour les portes B et C comme étant les portes de gain et vous verrez que les résultats sont identiques :

• sans changement, vous obtenez seulement 1 gain sur 3,
• tandis qu'avec la stratégie de changement, vous obtenez 2 gains sur 3.

Des preuves mathématiques de ce raisonnement peuvent se trouver dans  Wikipedia, l'encyclopédie libre  ou à  différents endroits  sur la toile.