In den Siebziger Jahren, präsentierte  Monty Hall  in Amerika eine Fernsehshow  Let's Make a Deal.  Er bot zum Beispiel $100 für jede Aktenklammer oder $50 für jedes hartgekochtes Ei das man ihm geben konnte. Eins der Lieblingsspiele der Show war das Spiel der drei Türen.

Der Teilnehmer steht vor drei geschlossenen Türen. Hinter einer der Türen ist ein bedeutender Preis (ein Auto im Show), die zwei andere Türen bieten nichts an (eine Ziege im Show). Wenn der Kandidat eine der Türen zeigt, öffnet der Spielmeister die noch nicht. Statt dessen öffnet er eine andere Tür, hinter der es keinen Preis gibt. Im Show war dies nur ein Mittel um die Spannung zu steigern, Teilnehmer durften ihre Wahl nicht ändern. Aber was, wenn sie eine andere Wahl machen könnten? Was würde dann die beste Strategie sein? Wird eine neue Wahl die Chancen ändern? Wird die Wahrscheinlichkeiten, den Preis zu gewinnen besser, schlechter oder gleich bleiben, wenn sie Ihre Wahl änderten?

Eine der frühesten bekannten Publikationen dieses Problems war in 1989 in Joseph Bertrands Calcul des probabilités, wo es beschrieben ist als Bertrands Kasten Paradox. In 1961 erschien es wieder in Martin Gardners Buch More Mathematical Puzzles and Diversions, im Problem der Drei Gefangenen.

Marilyn vos Savant  Puzzlechronist für die amerikanische Zeitschrift  Parade  und im Guinness Buch der Weltrekorde erwähnt mit dem höchste notierte Resultat (228) jemals in einem IQ Test erreicht, erhielt in September 1990 dieses Problem in einem Leserbrief. Die Publikation ihrer Lösung in ihrer  Ask Marilyn  Spalte verursachte eine sehr große Debatte unter Mathematikern und Laien. Sie erhielt so ungefähr 10.000 Briefe, darunter viele von gelehrten Akademiker, die meistens in unmißverständlichen Worten behaupteten daß ihre Lösung falsch war. Die sehr ernste New York Times öffnete eben ihre erste Seite für einen Artikel darüber. Und Bytes berühmte Chaos Manor Chronist,  Jerry Pournell  besprach das Problem auch ausführlich, zuerst als Wiedersprecher zu Marilyns Lösung, um schließlich damit einverstanden zu sein.

Aber, was denken Sie? Sollten Sie Ihre Ausgangswahl ändern, um Ihre Gewinnchancen zu erhöhen, oder würde es nichts ändern? Nachdem Sie sich entschlossen haben, können Sie auf den nächsten Seiten eine Simulation sehen um herauszufinden, ob Sie recht oder nicht. Und eine Erklärung der Lösung wird auch gegeben.

Das Simulationsbrett zeigt zwei Reihen von drei Türen.

• Für die obere Reihe wird Ihre Ausganswahl immer behalten.
• Auf der unteren Reihe wird Ihre Wahl systematisch geändert.

Der Preis ändert Plätze zwischen den Versuchen, aber ist immer in der gleichen Spalte, um Vergleiche zu ermöglichen.

Über jeder Tür, zeigen drei Lichter unterschiedliche Farben, was im vorhergehenden Durchlauf geschah:

• wird wenn diese Tür die erste Wahl war
• wird wenn diese Tür durch den Spielmeister geöffnet wurde
• wird wenn der Preis hinter diese Tür war

Unter jeder Tür zeigt ein Licht was im vorhergehenden Durchlauf geschah:

• wird wenn diese Tür vom Spieler geöffnet wurde
• die Kombination   von den letzten zwei Lichtern gibt dann an, daß der Spieler einen Gewinn erhielt

Die erste Tür wird im voraus als erste Wahl vorgeschlagen. Aber Sie können diese Wahl jederzeit ändern mit einem Klick auf eine Tür.

Tatsächlich führen Sie den gleichen Test mit zwei unterschiedlichen Bedingungen durch: ohne Änderung (oben) und mit Änderung (unten), damit Sie in der Lage sind, zu sehen wie Gewinne sich entwickeln. Die zwei Zähler rechts oben von jeder Reihe Türen, stellen ein genaues Maß der Gewinne für beide Strategien dar.

Über jeder Spalte der Türen zeigen Zähler den Anteil Gewinne für jede Tür an und erlauben Ihnen, zu überprüfen, daß jede Reihe gleiche Wahrscheinlichkeiten hat. Die Summe dieser Anteile ist 1, jede Tür soll also 0.333 Gewinnen annähern.

Um zu sehen welche Strategie das beste Resultat erreicht, fangen Sie am besten mit einigen Einzelschritten an, um die Entwicklung zu verstehen, bevor Sie die Simulation automatisch laufen lassen (vorzugsweise mindestens hundert Versuche).

Tür A

Tür B

Tür C

Versuche

0

Erste Wahl behalten
Anteil Gewinne

0.000

Erste Wahl ändern
Anteil Gewinne

0.000

0.000

0.000

0.000

Null

Lauf

Stop

Schritt

Das Problem der 3 Türen ist ein sehr gutes Beispiel der nicht intuitiven Natur von Wahrscheinlichkeiten. Die meisten Leute glauben, daß es keinen Vorteil gibt, wenn sie ihre Ausgangswahl ändern. Ihre Argumentation ist daß es nach der Öffnung einer Tür ohne Preis immer noch 50 % Wahrscheinlichkeit gibt, daß der Preis hinter einer der zwei anderen Türen ist, und daß das Ändern ihrer Wahl daran nichts ändert. Leider ist diese Argumentation falsch und den Fehler liegt in der Tatsache, daß der Spielmeister mehr weiß als der Spieler.

Wenn Sie Ihre Ausgangswahl machen, haben Sie 1 Möglichkeit auf 3, den Preis zu erhalten. Wenn der Spielmeister eine Tür öffnet, geht es zurück auf einen Gewinn und einen Verlust. Nichts ändern an diesem Punkt hat keine Folge: Sie behalten 1 Möglichkeit auf 3, den Preis zu bekommen. Aber, wenn Sie an diesem Punkt Ihre Wahl ändern, ändern Ihre Ausgangsvorteile vollständig. Wenn Ihre Ausgangswahl ein Verlust war, erreicht das Ändern jetzt einen Gewinn. Und wenn Ihre Ausgangswahl ein Gewinn war, erhält das Ändern Ihnen jetzt einen Verlust. Sie sollten es betrachten, als ob Sie eine zweite Möglichkeit bekamen den Preis auszuwählen. Da Ihre Ausgangswahrscheinlichkeit einen Gewinn zu erhalten nur 1 auf 3 war, gibt das Ändern Ihnen jetzt 2 Möglichkeiten auf 3, einen Gewinn zu erhalten.

Oder Sie konnten es auch in einer anderen Weise betrachten:

• die Wahrscheinlichkeit, daß der Spieler zuerst die korrekte Tür wählte, ist 1 aus 3, da es drei Türen gibt, die gleiche Wahrscheinlichkeiten haben, den Preis zu verbergen.
• die Wahrscheinlichkeit, daß die Tür die der Spielmeister wählt, den Preis verbirgt ist 0, da er nie die Tür wählt, die den Preis enthält.
• da die Summe der drei Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss, ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Preis hinter der anderen Tür steht 1 - (1/3 + 0), oder 2/3.

Weil ein Bild mehr Wert als tausend Wörter hat, spielen wir jetzt das Spiel mit transparenten Türen:

Erster Schritt
Sie wählen Tür A				Sie wählen Tür B				Sie wählen Tür C
Zweiter Schritt
Der Spielmeister öffnet Tür C (*)				Der Spielmeister öffnet Tür C				Der Spielmeister öffnet Tür B
Dritter Schritt: ohne Änderung
Sie bleiben mit Tür A				Sie bleiben mit Tür B				Sie bleiben mit Tür C
und es ist ein Gewinn				und es ist ein Verlust				und es ist ein Verlust
Dritter Schritt: mit Änderung
Da A Ihre erste Wahl war und C geöffnet wurde, wählen Sie jetzt B				Da B Ihre erste Wahl war und C geöffnet wurde, wählen Sie jetzt A				Da C Ihre erste Wahl war und B geöffnet wurde, wählen Sie jetzt A
und es ist ein Verlust				und es ist ein Gewinn				und es ist ein Gewinn

(*) Für den zweiten Schritt der ersten Reihe, hat der Spielmeister zwei Möglichkeiten: er kann Tür B oder Tür C öffnen, ohne den Preis aufzudecken. Aber das ändert gar nichts: beim dritten Schritt erhält der Spieler immer nur eine Möglichkeit um zu schalten und damit ändert die Wahrscheinlichkeit gar nicht.

Wenn Sie es wünschen, können Sie diesen Entwurf für Türen B und C als gewinnende Türen versuchen, und Sie werden sehen, daß die Ergebnisse gleich bleiben:

• ohne Änderung erhalten Sie nur 1 Gewinn aus 3 heraus,
• während mit Änderung, Sie 2 Gewinne aus 3 heraus erhalten.

Der Mathematische Beweis  dieser Argumentation kann in  Wikipedia, die freie Enzyklopädie  gefunden werden oder  an verschiedenen anderen Plätzen  auf dem Netz.